答えから言うと、本当ではありません。

　
髪の毛の役割の１つは「頭部を守る」こと。
頭部には大事な脳があります。
髪の毛は気温の変化や衝撃、刺激から頭部を守っています。
脳がダメージを受けてしまうと、致命傷になったり後遺症が残ったり、自身の生活に大きな支障を与えることになります。
炎天下で発症する日射病も、脳にダメージを与えた結果の１つで、深刻な事態になる可能性があるので気をつけなければなりません。

夏の暑さはもちろん、冬の寒さも影響を及ぼします。
髪の毛が少ない方は特に、夏の日差しを避けるため、そして、冬の寒さから守るためにも、帽子の着用をお勧めします。
しかし、「帽子をかぶると、汗で頭が蒸れてしまうから、頭皮へ悪影響、そしてハゲる原因になるのでは？」という心配があるかと思います。
大量に汗をかく場合は、こまめに脱いで拭き取るほうがよいでしょう。

ただ、汗をかくこと、帽子の中で蒸れることが直接、頭皮に影響を及ぼすことはありませんのでご安心ください。
一日の終わりにしっかりと洗髪すれば、脱毛が進行する心配はありません。
汗そのものが頭皮に害になることはありませんが、汚れや空気中の雑菌などが付着することで、時間が経つと菌の繁殖に繋がりますので、きれいに洗髪しなければ、当然頭皮に悪影響を及ぼします。
「外的な刺激から頭部を守ること」「しっかりと洗髪すること」これら両方とも大切です。